Álgebra de Boole

Un álgebra de Boole es un conjunto finito de elementos con las operaciones suma y producto, y que cumple con estos 5 postulados:

1. Las operaciones + y * son internas, sus resultados siempre están en mismo conjunto que se use. $\forall a,b\in B,a+b\in B\text{ y }a\cdot b\in B$
2. Existe un elemento neutro para cada operación, 0 para la suma, y 1 para el producto. $\forall a\in B,a+0=a,a\cdot 1=a$
3. Existe un elemento inverso para cualquier elemento del conjunto. $\forall a\in B,\exists \bar{a}\in B|a+\bar{a}=1,a\cdot \bar{a}=0$
4. Las operaciones son conmutativas. $a+b=b+a,a\cdot b=b\cdot a$
5. Las operaciones son distributivas. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,a+b\cdot c=(a+b)\cdot (a+c)$

El álgebra de conmutación es un álgebra de Boole con el conjunto {0,1}. En sistemas digitales se utiliza el nombre Álgebra de Boole para el álgebra de conmutación, aunque sean cosas distintas.

Definimos las operaciones suma y producto de esta forma:

a	b	a+b	a.b
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	1	1
La suma coincide con la tabla de la puerta OR, y el producto coincide con la puerta AND.
Esto nos sirve para implementar cualquier circuito digital con el menor número posible de puertas.

Propiedades útiles

1. Elemento inverso: $\bar{0}=1,\bar{1}=0$
2. Idempotencia: $a+a=a,a\cdot a=a$
3. Involución: $\overline{\stackrel{ˉ}{a}}=a$
4. Asociatividad: $a+(b+c)=(a+b)+c,a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
5. Absorción: $a+a\cdot b=a,a\cdot (a+b)=a$
6. Leyes de Morgan: $\overline{(a+b)}=\bar{a}\cdot \bar{b},\overline{a\cdot b}=\bar{a}+\bar{b}$
7. Ley de Morgan generalizada: $\overline{(a_1+a_2\cdots +a_n)}={\bar{a}}_1\cdot {\bar{a}}_2\dots {\bar{a}}_n,\overline{a_1\cdot a_2\dots a_n}={\bar{a}}_1+{\bar{a}}_2+\cdots +{\bar{a}}_n$